Question

13．已知F為拋物線C：y²=2x的焦點，點E在射線l：x=-$\frac{1}{2}$（y≥0）上，線段EF的垂直平分線與l交于點Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），與拋物線C交于點P，則△PEF的面積為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線方程求出焦點坐標，設出E的坐標（-$\frac{1}{2}$，m），利用EF和QP垂直求得m的值，則EF、QP的方程可求，求出EF的長度，求出P的坐標，由三角形的面積公式求得△PEF的面積．

解答 解：如圖，
由拋物線方程為y²=2x，得F（$\frac{1}{2}$，0），設E（-$\frac{1}{2}$，m）（m＞0），
則EF中點為G（0，$\frac{m}{2}$），k_EF=-m，
又Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴k_QG=$\frac{\frac{3}{4}-\frac{m}{2}}{-\frac{1}{2}-0}$=$\frac{2m-3}{2}$，
由k_EF•k_QG=-1，即-m•$\frac{2m-3}{2}$=-1，解得：m=2．
∴E（-$\frac{1}{2}$，2），
則|EF|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，直線EF的方程為$\frac{y-0}{2-0}$=$\frac{x-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$，化為一般式得：2x+y-1=0．
QG所在直線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$x，即x-2y+2=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即P（2，2），
∴P到直線EF的距離為d=$\frac{丨2×2+2-1丨}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
則△PEF的面積為S=$\frac{1}{2}$×d×|EF|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查了拋物線的與平面解析式的綜合應用．考查了考生的基礎知識的綜合運用和知識遷移的能力，屬于中檔題．