Question

8．已知0（0，0），A（3，0），B（0，4），P是△OAB的內(nèi)切圓上一動點，則以PO、PA、PB為半徑的三個圓面積之和的最大值為（　�。�

• A． 10π
• B． 12π
• C． 22π
• D． 25π

Answer 1

分析 由題意可得內(nèi)切圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=1，可得3x²+3y²-6x-6y+3=0，整體代入|PA|²+|PB|²+|PO|²=-2y+22，由函數(shù)的思想可得最值．

解答 解：設(shè)△OAB內(nèi)切圓的圓心為（a，a）
∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），
∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，
由等面積可得$\frac{1}{2}×3×4$=$\frac{1}{2}$（3+4+5）a，解得a=1
∴△OAB內(nèi)切圓的圓心為（1，1），半徑為1，
∴△OAB內(nèi)切圓方程為（x-1）²+（y-1）²=1；
∵點P是△ABO內(nèi)切圓上一點，設(shè)P（x，y）
則（x-1）²+（y-1）²=1，
∴x²+y²-2x-2y+1=0，
∴3x²+3y²-6x-6y+3=0，
∴|PA|²+|PB|²+|PO|²=（x-3）²+y²+x²+（y-4）²+x²+y²
=3x²+3y²-6x-8y+25=3x²+3y²-6x-6y+3-2y+22=-2y+22
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=-2y+22，（0≤y≤2），
∴y=0時上式取最大值22，
∴PO、PA、PB為半徑的三個圓面積之和的最大值為π（|PA|²+|PB|²+|PC|²）=22π．
故選：C．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及等面積和整體思想，屬中檔題．