Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x²+1，過點(diǎn)M（a，0）作直線l₁，l₂與f（x）的圖象相切于A，B兩點(diǎn)，則直線AB（　�。�

• A． 過定點(diǎn)（0，1）
• B． 過定點(diǎn)（0，2）
• C． 過定點(diǎn)（a，1）
• D． 過定點(diǎn)（a，2）

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²+1），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²+1），求出二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡(jiǎn)可得
x₁，x₂為方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$ax-1=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到定點(diǎn)（0，2）．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²+1），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²+1），
由f（x）=$\frac{1}{4}$x²+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{2}$x，
可得切線的斜率為$\frac{1}{2}$x₁=$\frac{\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}+1}{{x}_{1}-a}$，
$\frac{1}{2}$x₂=$\frac{\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}+1}{{x}_{2}-a}$，
化簡(jiǎn)可得x₁，x₂為方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$ax-1=0的兩根，
可得x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4，
k_AB=$\frac{\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}+1-\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}-1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂），
即有直線AB的方程為y-$\frac{1}{4}$x₁²-1=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x-x₁），
化簡(jiǎn)可得y-1=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）x-$\frac{1}{4}$x₁x₂，
即為y=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）x+2，
則直線AB恒過定點(diǎn)（0，2）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和方程，考查直線恒過定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程，以及二次方程的韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．