Question

18．已知函數(shù)$f（{x-3}）=lg\frac{{{x^{\;}}}}{{{x^{\;}}-6}}$．
（1）求f（x）解析式和定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）奇偶性．

Answer 1

分析 （1）利用換元法結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）解析式和定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）奇偶性．

解答 解：（1）由$\frac{x}{x-6}$＞0得x＞6或x＜0，
設(shè)t=x-3，
則x=t+3，且t＞3或t＜-3，
則函數(shù)等價為f（t）=lg$\frac{t+3}{t-3}$，即f（x）=lg$\frac{x+3}{x-3}$，
函數(shù)的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞）；
（2）∵f（x）=lg$\frac{x+3}{x-3}$，
∴f（-x）+f（x）=lg$\frac{-x+3}{-x-3}$+lg$\frac{x+3}{x-3}$=lg（$\frac{-x+3}{-x-3}$•$\frac{x+3}{x-3}$）=lg1=0，
即f（-x）=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)奇偶性的判斷，利用換元法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．