Question

9．在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，已知圓C的圓心$C（3，\frac{π}{6}）$，半徑r=3．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，P在OQ的延長(zhǎng)線上，且|OQ|：|QP|=3：2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（ρ，θ）為圓C上任一點(diǎn)，OM的中點(diǎn)為N，由垂徑定理能求出圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ，θ），由已知求出點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}ρ$，θ），由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)M（ρ，θ）為圓C上任一點(diǎn)，OM的中點(diǎn)為N，
∵O在圓C上，∴△OCM為等腰三角形，由垂徑定理得|ON|=|OC|cos（$θ-\frac{π}{6}$），
∴|OM|=2×3cos（$θ-\frac{π}{6}$），即ρ=6cos（$θ-\frac{π}{6}$）為所求圓C的極坐標(biāo)方程．（5分）
（2）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ，θ），
∵P在OQ的延長(zhǎng)線上，且|OQ|：|QP|=3：2，
∴點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}ρ$，θ），由于點(diǎn)Q在圓上，所以$\frac{3}{5}$ρ=6cos（$θ-\frac{π}{6}$）．
故點(diǎn)P的軌跡方程為ρ=10cos（$θ-\frac{π}{6}$）．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．