Question

9．在極坐標(biāo)系中，O為極點，已知圓C的圓心$C（3，\frac{π}{6}）$，半徑r=3．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若點Q在圓C上運動，P在OQ的延長線上，且|OQ|：|QP|=3：2，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（ρ，θ）為圓C上任一點，OM的中點為N，由垂徑定理能求出圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點P的極坐標(biāo)為（ρ，θ），由已知求出點Q的極坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}ρ$，θ），由此能求出點P的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)M（ρ，θ）為圓C上任一點，OM的中點為N，
∵O在圓C上，∴△OCM為等腰三角形，由垂徑定理得|ON|=|OC|cos（$θ-\frac{π}{6}$），
∴|OM|=2×3cos（$θ-\frac{π}{6}$），即ρ=6cos（$θ-\frac{π}{6}$）為所求圓C的極坐標(biāo)方程．（5分）
（2）設(shè)點P的極坐標(biāo)為（ρ，θ），
∵P在OQ的延長線上，且|OQ|：|QP|=3：2，
∴點Q的極坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}ρ$，θ），由于點Q在圓上，所以$\frac{3}{5}$ρ=6cos（$θ-\frac{π}{6}$）．
故點P的軌跡方程為ρ=10cos（$θ-\frac{π}{6}$）．（10分）

點評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查動點的軌跡方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運用．