Question

10．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4
（1）求證AC⊥BC₁
（2）在AB上是否存在點D使得AC₁⊥CD
（3）在AB上是否存在點D使得AC₁∥平面CDB₁？

Answer 1

分析 （1）以C為坐標(biāo)原點，直線CA、CB、CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥BC．
（2）假設(shè)在AB上存在點D，使得AC₁⊥CD，則$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$=（-3λ，4λ，0），利用向量法能求出在AB上存在點D，使得AC₁⊥CD，這時點D與點B重合．
（3）假設(shè)在AB上存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，利用向量法能求出在AB上存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，且D是AB的中點．

解答 證明：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，AC、BC、CC₁兩兩垂直，
以C為坐標(biāo)原點，直線CA、CB、CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，4），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4），
∵$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，4），∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{B{C}_{1}}$，∴AC⊥BC．
解：（2）假設(shè)在AB上存在點D，使得AC₁⊥CD，
則$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，
于是$\overrightarrow{CD}$=（3-3λ，4λ，0），則D（3-3λ，4λ，0），由于$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），且AC₁⊥CD，
∴-9+9λ=0，得λ=1，∴在AB上存在點D，使得AC₁⊥CD，這時點D與點B重合．
（3）假設(shè)在AB上存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，
則$\overrightarrow{AD}$=$λ\overrightarrow{AB}$=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，
則D（3-3λ，4λ，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（3-3λ，4λ-4，-4），
又$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-4，-4），由于$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），AC₁∥平面CDB₁，
∴存在實數(shù)m，n，使$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=m$\overrightarrow{{B}_{1}D}$+n$\overrightarrow{{B}_{1}C}$成立，
∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，
∴$λ=\frac{1}{2}$，∴在AB上存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，且D是AB的中點．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．