Question

3．如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是線段AD上一點，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（Ⅰ）證明：BM⊥平面SMC；
（Ⅱ）若SB與平面ABCD所成角為$\frac{π}{4}$，N為棱SC上的動點，當二面角S-BM-N為$\frac{π}{4}$時，求$\frac{SN}{NC}$的值．

Answer 1

分析 （I）利用平面幾何知識證明BM⊥MC，結(jié)合SM⊥平面ABCD可得SM⊥BM，于是BM⊥平面SMC；
（II）設(shè)AB=1，利用∠SBM=$\frac{π}{4}$，∠SMN=$\frac{π}{4}$可求出SM，SC，在△SMN中使用正弦定理求出SN，即可得出$\frac{SN}{NC}$的值．

解答 解：（I）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，SM⊥AD
∴SM⊥平面ABCD，又BM?平面ABCD
∴SM⊥BM
又AM=AB，DM=DC
∴∠BMA=∠DMC=$\frac{π}{4}$，
∴∠BMC=$\frac{π}{2}$，即CM⊥BM，
又SM?平面SMC，MC?平面SMC，SM∩MC=M，
∴BM⊥平面SMC．
（II）∵SM⊥平面ABCD，∴∠SBM為SB與平面ABCD所成的角，
∴∠SBM=$\frac{π}{4}$．∴SM=BM．
由（1）得BM⊥平面SMC，∵MN?平面SMC，
∴BM⊥MN，又BM⊥SM，
∴∠SMN為二面角S-BM-N的平面角．即∠SMN=$\frac{π}{4}$．
設(shè)AB=1，則SM=BM=$\sqrt{2}$，DM=DC=3，∴MC=3$\sqrt{2}$．
∴SC=$\sqrt{S{M}^{2}+M{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．sin∠MSN=$\frac{MC}{SC}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．cos∠MSN=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sin∠SNM=sin（∠MSN+∠SMN）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在△SMN中，由正弦定理得$\frac{SN}{sin∠SMN}$=$\frac{SM}{sin∠SNM}$，
∴SN=$\frac{SM•sin∠SMN}{sin∠SNM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴$\frac{SN}{SC}=\frac{1}{4}$，∴$\frac{SN}{NC}=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間角的計算，屬于中檔題．