Question

7．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且目標函數(shù)z=2x+y的最大值為M，最小值為m，若M=4m，則實數(shù)a的值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)求出最大值和最小值，代入M=4m求得實數(shù)a的值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{x=y}\end{array}\right.$，解得：A（a，a），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得：B（1，1），
化目標函數(shù)為直線方程斜截式y(tǒng)=-2x+z，
由圖可知，當(dāng)直線過A（a，a）時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為m=3a，
當(dāng)直線過B（1，1）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為M=3，
由M=4m，得3=12a，即a=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．