Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），a₁=2，令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}$．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件推出$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{3}$，即可證明{b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）求出b_n，然后求解數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（Ⅰ）（a_n+1-1）（a_n-1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，兩邊同除：（a_n+1-1）（a_n-1），
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{3}$，即${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{3}$，
∴{b_n}是等差數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）∵b₁=1，∴${b_n}=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$，…（10分）
${a_n}-1=\frac{3}{n+2}$，∴${a_n}=\frac{n+5}{n+2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．