Question

【題目】已知函數(shù)（，）的周期為，圖象的一個對稱中心為將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所有圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）當(dāng)，求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使在恰有2019個零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）依題意，可求得，，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得；

（2）將轉(zhuǎn)化為，設(shè)，通過判斷導(dǎo)數(shù)的增減性，確定所對應(yīng)交點(diǎn)個數(shù)，推出值，再通過在恰有2019個零點(diǎn)反推出值即可

(1)函數(shù)的周期為，，

又曲線的一個對稱中心為，，

故，得，所以

將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，

(2)由于，設(shè)

，可得，可得在上單調(diào)遞增，與上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，根據(jù)圖像可知時，在有3解，時在有2解（舍），

而，得，從而存在，時，有2019個零點(diǎn)