Question

18．如圖正四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是A₁A上的點，M是AC、BD的交點．
（1）若A₁C∥平面EBD，求證：點E是AA₁中點；
（2）若AB=1，△EBD的面積S=$\sqrt{2}$，點F在CC₁上，且FM⊥EM，求三棱錐體積V_F-EBD的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EM，由線面平行的性質(zhì)可得A₁C∥EM，故E為A₁A中點；
（2）由正四棱柱的性質(zhì)可知BD⊥平面ACC₁A₁，故BD⊥MF，結(jié)合EM⊥MF可得MF⊥平面BDE，由面積公式可求得EM，進(jìn)而計算出AE，由Rt△EAM∽Rt△MCF可得MF的長，即棱錐的高．

解答 解：（1），連結(jié)EM，
∵四邊形ABCD是正方形，∴M是AC的中點，
∵A₁C∥平面EBD，A₁C?平面A₁AC，平面A₁AC∩平面EBD=EM，
∴AC₁∥EM，
∴$\frac{AE}{A{A}_{1}}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$．
∴點E是AA₁中點．
（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，∵M(jìn)F?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥MF，又MF⊥EM，EM?平面BDE，BD?平面BDE，EM∩BD=M，
∴MF⊥平面BDE．
∵AB=1，∴BD=$\sqrt{2}$，AM=MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵S_△BDE=$\frac{1}{2}BD•EM=\sqrt{2}$，
∴EM=2，
∴EA=$\sqrt{E{M}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∵EM⊥MF，∴∠AME+∠CMF=90°，
∵EA⊥AC，∴∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠CMF，
∴Rt△EAM∽Rt△MCF，
∴$\frac{EA}{MC}=\frac{EM}{MF}$，即$\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{MF}$，解得MF=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴V_F-EBD=$\frac{1}{3}{S}_{△EBD}•MF$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{2\sqrt{14}}{21}$．

點評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定，棱錐的體積計算．