Question

9．若（3x-1）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…+a₁₀x¹⁰（x∈R，n∈N）
（Ⅰ）求n為何值時，|a_n|取最大值；
（Ⅱ）求$\frac{1}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{10}}{{3}^{10}{a}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，|a_n|=C₁₀ⁿ•3ⁿ，利用$\frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$=3•$\frac{10-n}{n+1}$，即可求n為何值時，|a_n|取最大值；
（Ⅱ）利用賦值法，即可求$\frac{1}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{10}}{{3}^{10}{a}_{1}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，|a_n|=C₁₀ⁿ•3ⁿ，∴$\frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$=3•$\frac{10-n}{n+1}$，
∴n=7時，|a_n|取最大值；
（Ⅱ）令x=$\frac{1}{3}$，則0=a₀+$\frac{1}{3}$a₁+$\frac{1}{{3}^{2}}$a₂+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$a₁₀，
∴$\frac{1}{{3}^{2}}$a₂+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$a₁₀=-（a₀+$\frac{1}{3}$a₁）
∴$\frac{1}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{10}}{{3}^{10}{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$-（a₀+$\frac{1}{3}$a₁）．
∵x=0時，a₀=1，a₁=-30，
∴$\frac{1}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{10}}{{3}^{10}{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$-（1-10）=$\frac{28}{3}$．

點評 本題考查求二項展開式的系數(shù)和常用的方法是：賦值法．