Question

19．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO₁，進(jìn)而求出底面ABC上的高SD，即可計(jì)算出三棱錐的體積．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形：
設(shè)球心為O，過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長(zhǎng)CO₁交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱錐S-ABC}=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)S到面ABC的距離．