Question

7．如圖所示，幾何體ABCDE中，△ABC為正三角形，CD⊥面ABC，BE∥CD，BC=CD=2BE．
（Ⅰ）在線段AD上找一點(diǎn)F，使EF∥平面ABC，并證明；
（Ⅱ）求證：面ADE⊥面ACD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取線段AC中點(diǎn)M，連結(jié)BM，F(xiàn)M，EF，證明出四邊形BEFM平行四邊形，推斷出EF∥BM，進(jìn)而利用線面平行的判定定理證明出EF∥平面ABC；
（Ⅱ）利用線面垂直的判定定理證明出BM⊥面ACD，進(jìn)而推斷EF⊥面ACD，最后利用面面垂直的判定定理證明出結(jié)論

解答 解：（Ⅰ）
點(diǎn)F為線段AD中點(diǎn)，
證明如下：
取線段AC中點(diǎn)M，連結(jié)BM，F(xiàn)M，EF，
∵BE∥CD，BC=CD=2BE
則FM∥CD∥BE，且$FM=\frac{1}{2}CD=BE$，
所以四邊形BEFM平行四邊形，則EF∥BM，
又∵EF?平面ABC，BM⊆平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（Ⅱ）證明：∵△ABC為正三角形，
∴BM⊥AC，
∵CD⊥面ABC，BM⊆平面ABC，
∴CD⊥BM，
∵CD∩AC=C，
∴BM⊥面ACD，
∵EF∥BM，
∴EF⊥面ACD，
又EF⊆平面ADE，
∴面ADE⊥面ACD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生的一定的空間觀察和想象能力．