Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（lnx-a），e是自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.718…，a∈R且為常數(shù)．
（1）若y=f（x）在x=1處的切線的斜率為2e，求a的值；
（2）若y=f（x）在區(qū)間[ln2，ln3]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)進行求導，由f'（1）=2e求得a
（2）由[ln2，ln3]是y=f（x）的一個單調(diào)區(qū)間當且僅當f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零．注意對對數(shù)h（ln2）和h（ln3）的大小比較有兩種方法：
方法一：利用作差法比較h（ln2）和h（ln3）的大小，
方法二：構(gòu)造新函數(shù)$p（x）=2lnx-x+\frac{1}{x}$，利用新函數(shù)的單調(diào)性比較大小

解答 解：（1）$f'（x）={e}^{x}（lnx-a+\frac{1}{x}）$…（1分）
依題意，k=f'（1）=e¹（ln1-a+1）=2e，解得a=-1…（2分）
（2）$f'（x）={e}^{x}（lnx-a+\frac{1}{x}）$，[ln2，ln3]是y=f（x）的一個單調(diào)區(qū)間．
當且僅當f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，
由e^x＞0，作$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$，${h^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，由${h^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=0$得x=1…（7分）
列表如下：

x	[ln2，1）	1	（1，ln3]
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	最小值	↗

…（9分）
h（x）在[ln2，ln3]上的最小值為m=1，
所以，當且僅當a≤1時，y=f（x）在[ln2，ln3]上單調(diào)遞增…（11分）
下面比較h（ln2）與h（ln3）的大小
（方法一）由2³＜3²＜e³，$2＜{3^{\frac{2}{3}}}＜e$，$ln2＜\frac{2}{3}ln3＜1$
又h（x）在[ln2，1）上單調(diào)遞減得$h（ln2）＞h（\frac{2}{3}ln3）$…（12分）
$h（ln2）-h（ln3）＞h（\frac{2}{3}ln3）-h（ln3）=ln\frac{2}{3}+\frac{1}{2ln3}=\frac{{1-ln3ln\frac{9}{4}}}{2ln3}$…（13分）
$ln3ln\frac{9}{4}＜\frac{1}{4}{（ln3+ln\frac{9}{4}）^2}=\frac{1}{4}{（ln\frac{27}{4}）^2}＜\frac{1}{4}{（ln7）^2}＜\frac{1}{4}{（ln{e^2}）^2}=1$，
∴h（ln2）＞h（ln3），當且僅當$a≥lnln2+\frac{1}{ln2}$時，y=f（x）在[ln2，ln3]上單調(diào)遞減，
綜上所述，a的取值范圍為$（-∞，1]∪[lnln2+\frac{1}{ln2}，+∞）$…（14分）
（方法二）由$ln2ln3＜{（\frac{ln2+ln3}{2}）^2}={（\frac{ln6}{2}）^2}＜1$，$0＜ln2＜\frac{1}{ln3}＜1$，
以及$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$的單調(diào)性知，$lnln2+\frac{1}{ln2}＞-lnln3+ln3$…（12分）
由${（2lnx-x+\frac{1}{x}）^/}=\frac{2}{x}-1-{（\frac{1}{x}）^2}=-{（1-\frac{1}{x}）^2}≤0$知，
$p（x）=2lnx-x+\frac{1}{x}$單調(diào)遞減…（13分）
由ln3＞1得$2lnln3x-ln3+\frac{1}{ln3}＜p（1）=0$，$-lnln3+ln3＞lnln3+\frac{1}{ln3}$，$lnln2+\frac{1}{ln2}＞lnln3+\frac{1}{ln3}$，
∴h（ln2）＞h（ln3），當且僅當$a≥lnln2+\frac{1}{ln2}$時，y=f（x）在[ln2，ln3]上單調(diào)遞減，
綜上所述，a的取值范圍為$（-∞，1]∪[lnln2+\frac{1}{ln2}，+∞）$…（14分）
（“單調(diào)遞增…（11分）”以下，若直接寫$a≥max\left\{{lnln2+\frac{1}{ln2}，lnln3+\frac{1}{ln3}}\right\}$，再給1分）

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義和導數(shù)在單調(diào)性中得應(yīng)用和用其求參數(shù)范圍的方法，屬于難題．