Question

5．設(shè)復(fù)數(shù)z₁，z₂滿足|z₁|=|z₁+z₂|=3，|z₁-z₂|=3$\sqrt{3}$，試求log₃|（z₁$\overline{{z}_{2}}$）²⁰⁰⁰+（$\overline{{z}_{1}}$z₂）²⁰⁰⁰|的值．

Answer 1

分析 不妨取z₁=3，由|z₁|=|z₁+z₂|=3，|z₁-z₂|=3$\sqrt{3}$，可得z₂=$3（cos\frac{2π}{3}±isin\frac{2π}{3}）$=$3（-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i）$．當${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$時，可得${z}_{1}•\overline{{z}_{2}}$=-9$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）$，$\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}$=9$（cos\frac{2π}{3}+isin\frac{2π}{3}）$，利用“棣模佛定理”及其對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．當${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$時，同理可得．

解答 解：不妨取z₁=3，∵|z₁|=|z₁+z₂|=3，|z₁-z₂|=3$\sqrt{3}$，
∴z₂=$3（cos\frac{2π}{3}±isin\frac{2π}{3}）$=$3（-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i）$．
當${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$時，
∴${z}_{1}•\overline{{z}_{2}}$=$9（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=-9$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）$，$\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}$=$9（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=9$（cos\frac{2π}{3}+isin\frac{2π}{3}）$，
∴$（{z}_{1}\overline{{z}_{2}}）^{2000}$+$（\overline{{z}_{1}}{z}_{2}）^{2000}$=${9}^{2000}（cos\frac{2000π}{3}+isin\frac{2000π}{3}）$+${9}^{2000}（cos\frac{4000π}{3}+isin\frac{4000π}{3}）$=9²⁰⁰⁰$[（cos\frac{2π}{3}+isin\frac{2π}{3}）$+$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）]$=${9}^{2000}（\sqrt{3}i）$
∴l(xiāng)og₃|（z₁$\overline{{z}_{2}}$）²⁰⁰⁰+（$\overline{{z}_{1}}$z₂）²⁰⁰⁰|=$lo{g}_{3}{3}^{4000}×{3}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{8001}{2}$．
當${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$時，同理可得：log₃|（z₁$\overline{{z}_{2}}$）²⁰⁰⁰+（$\overline{{z}_{1}}$z₂）²⁰⁰⁰|=$\frac{8001}{2}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)的三角形式、“棣模佛定理”及其對數(shù)的運算性質(zhì)、指數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．