Question

13．冪函數(shù)f（x）=x^α（α為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）-2ax+3的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m＞n＞0，使得a∈[n，m]時(shí)，總有g(shù)（a）∈[n²，m²]成立，若存在，求出m，n的值，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論．．
（2）給出的函數(shù)是二次函數(shù)，求出其對(duì)稱(chēng)軸方程，分對(duì)稱(chēng)軸在給定的區(qū)間左側(cè)，右側(cè)及在區(qū)間內(nèi)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出其在不同區(qū)間內(nèi)的最小值，即可．
（3）根據(jù)（2）中g(shù)（a）的表達(dá)式，作出對(duì)應(yīng)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性，分別進(jìn)行討論判斷即可．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x^α（α為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）
∴f（$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{2}）^{α}=\frac{1}{4}$，則α=2，即f（x）=x²．
（2）若x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）-2ax+3=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，
對(duì)稱(chēng)軸為x=a，
①若a＞1，則函數(shù)在[-1，1]上為減函數(shù)，則函數(shù)的最小值為g（a）=f（1）=4-2a，
②若-1≤a≤1，則函數(shù)的最小值為g（a）=f（a）=3-a²，
③若a＜-1，則函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)，則函數(shù)的最小值為g（a）=f（-1）=4+2a．
（3）由（1）知g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2a，}&{a＞1}\\{3-{a}^{2}，}&{-1≤a≤1}\\{4+2a，}&{a＜-1}\end{array}\right.$，
∵m＞n＞0，

∴作出函數(shù)g（a）在（0，+∞）上的圖象，則函數(shù)g（a）為減函數(shù)，
①若0＜n＜m≤1，則由g（a）∈[n²，m²]成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{3-{n}^{2}={m}^{2}}\\{3-{m}^{2}={n}^{2}}\end{array}\right.$，
∵3-n²＞1，m²＜1，此時(shí)方程3-n²=m²不成立．
②若1≤n＜m，則由g（a）∈[n²，m²]成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{4-2m={n}^{2}}\\{4-2n={m}^{2}}\end{array}\right.$，兩式作差得2（n-m）=n²-m²=（n-m）（n+m），
即n+m=2，
∵1≤n＜m，∴n+m＞2，此時(shí)此時(shí)方程n+m=2不成立．
③0＜n≤1≤m，（等號(hào)不同時(shí)取），
則由g（a）∈[n²，m²]成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{3-{n}^{2}={m}^{2}}\\{4-2m={n}^{2}}\end{array}\right.$，消去n得（m-1）²=0，
則m=1，此時(shí)n²=4-2=2，則n=$\sqrt{2}$＞1，不成立，
綜上不存在實(shí)數(shù)m＞n＞0，使得a∈[n，m]時(shí)，總有g(shù)（a）∈[n²，m²]成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論求二次函數(shù)在不同區(qū)間上的最值，須注意的是分段函數(shù)的值域要分段求，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．