Question

設(shè)常數(shù)c∈（1，9），求函數(shù)f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由基本不等式易得函數(shù)的最小值，由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值在f（1）和f（9）中取到，作差比較可得．

解答： 解：由基本不等式可得f（x）=x+

c

x

≥2

c

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

c

x

即x=

c

時(shí)取等號，
∵c∈（1，9），∴

c

∈（1，3），
∴函數(shù)f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值為2

c

，
又f′（x）=1-

c

x2

，當(dāng)x∈[1，

c

]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[

c

，3]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1或x=3時(shí)，函數(shù)取最大值，
又f（1）=1+c，f（9）=9+

c

9

，
作差可得（1+c）-（9+

c

9

）=

8

9

（c-9）＜0，
∴函數(shù)f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最大值為f（9）=9+

c

9

．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式，涉及函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．