Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)?n∈N^*，S_n=（n+1）a_n-n（n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=（n+1）a_n-n（n+1，得S_n-1=na_n-1-（n-1）n，從而a_n-a_n-1=2，（n≥2），再求出a₁=2．由此能求出a_n．
（2）由${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)?n∈N^*，S_n=（n+1）a_n-n（n+1），①
∴n≥2時(shí)，S_n-1=na_n-1-（n-1）n，②
①-②，得：a_n=（n+1）a_n-na_n-1-2n，
∴n（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n-a_n-1=2，（n≥2），
n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）∵${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，③
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，④
③-④，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)及錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．