Question

9．在三棱錐A-BCD中，E是BC的中點(diǎn)，AB=AD，BD⊥DC，DB=2DC=$\sqrt{2}$AB=2，且二面角A-BD-C為60°．
（Ⅰ）求證：AE⊥BD；
（Ⅱ）求直線AE與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則可證BD⊥平面AEF，于是AE⊥BD；
（II）由勾股定理及中位線性質(zhì)得出AF=1，EF=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理求出AE，可證AE⊥EF，于是AE⊥平面BCD．取CD中點(diǎn)G，連接AG，作EH⊥AG于H，則可證EH⊥平面ACD，于是∠EAG即為直線AE與平面ACD所成角．

解答 證明：（I）取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF．
∵E，F(xiàn)是BC，BD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，又CD⊥BD，
∴EF⊥BD．
∵AD=AB，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)
∴AF⊥BD，
又EF?平面AEF，AF?平面AEF，AF∩EF=F，
∴BD⊥平面AEF，∵AE?平面AEF，
∴AE⊥BD．
（II）∵AB=AD，BD=$\sqrt{2}$AB=2，∴AB=$\sqrt{2}$，BF=$\frac{1}{2}$BD=1，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=1．
∵CD=$\frac{1}{2}BD=1$，EF=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}$．
∵BD⊥AF，BD⊥EF，∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，即∠AFE=60°．
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}-2AF•EF•cos60°}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AE²+EF²=AF²，∴AE⊥EF．
又AE⊥BD，BD∩EF=F，
∴AE⊥平面BCD．∵CD?平面BCD，
∴AE⊥CD．
取CD的中點(diǎn)G，連接AG，過(guò)E作EH⊥AG于H，
∵E，G分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴EG=$\frac{1}{2}BD=1$，EG∥BD．
∵CD⊥BD，∴CD⊥EG．
又AE⊥CD，AE∩EG=E，AE?平面AEG，EG?平面AEG，
∴CD⊥平面AEG，又EH?平面AEG，
∴CD⊥EH，又EH⊥AG，AG∩CD=G，AG?平面ACD，CD?平面ACD，
∴EH⊥平面ACD．
∴∠EAH為直線AE與平面ACD所成的角．
∵AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴sin∠EAH=$\frac{GE}{AG}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴直線AE與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計(jì)算，做出線面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．