Question

18．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2$\sqrt{6}$，求這個正三棱錐的體積和表面積．

Answer 1

分析 求出底面正三角形的面積，利用棱錐的體積公式求解體積，求出正三棱錐的底面面積與側(cè)面積，即可求出全面積．

解答 解：正三棱錐的高為1，底面邊長為2$\sqrt{6}$，底面面積為：$\frac{\sqrt{3}}{4}{×（2\sqrt{6}）}^{2}$=6$\sqrt{3}$．
V=$\frac{1}{3}×6\sqrt{3}×1$=2$\sqrt{3}$π
底面正三角形中心到一邊的距離為$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，
則正棱錐側(cè)面的斜高為$\sqrt{12+（\sqrt{2}）2}$=$\sqrt{3}$．
∴S_側(cè)=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$=9$\sqrt{2}$．
∴S_表=S_側(cè)+S_底=9$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（2$\sqrt{6}$）²
=9$\sqrt{2}$+6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正三棱錐的體積與全面積的求法，考查計算能力．