Question

6．已知，如圖∠A=45°，∠ACE=∠CDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CB=CD，過A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F是△CDE的內(nèi)心．

Answer 1

分析 連FC、FD、FE，然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線．

解答 證明：如圖，連DF，則由已知，
∵∠CDF=∠CAB=45°=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴DF為∠CDE的平分線，
連BD、CF，由CD=CB，知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB，
得FB=FD，即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上，
從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是∠ECD的平分線．
∵F是△CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)F是△CDE的內(nèi)心．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角形內(nèi)心的判定．注意三角形的內(nèi)心即是三角形角平分線的交點(diǎn)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．