Question

10．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面BB₁C₁C是矩形，D、E分別是線段BB₁、AC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）若平面ABC⊥平面BB₁C₁C，BB₁=4，求三棱錐A-DCE的體積．

Answer 1

分析 （1）取棱A₁C₁的中點(diǎn)F，連接EF、B₁F，利用三角形中位線定理，證明四邊形DEFB₁是平行四邊形，從而DE∥B₁F，利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）過A作AH⊥BC于H，利用V_A-DCE=V_D-ACE=$\frac{1}{2}$${V}_{A-CD{C}_{1}}$，即可得出三棱錐A-DCE的體積．

解答 （1）證明：取棱A₁C₁的中點(diǎn)F，連接EF、B₁F…（1分）
則由EF是△AA₁C₁的中位線得EF∥AA₁，EF=$\frac{1}{2}$AA₁
又DB₁∥AA₁，DB₁=$\frac{1}{2}$AA₁…（3分）
所以EF∥DB₁，EF=DB₁…（4分）
故四邊形DEFB₁是平行四邊形，從而DE∥B₁F…（5分）
所以DE∥平面A₁B₁C₁…（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镋是AC₁的中點(diǎn)，所以V_A-DCE=V_D-ACE=$\frac{1}{2}$${V}_{A-CD{C}_{1}}$…（7分）
過A作AH⊥BC于H…（8分）
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC⊥平面BB₁C₁C，所以AH⊥平面BB₁C₁C，…（9分）
所以${V}_{A-CD{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$…（11分）
所以V_A-DCE=V_D-ACE=$\frac{1}{2}$${V}_{A-CD{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查三棱柱的性質(zhì)、線面及面面平行與垂直的判定定理及其性質(zhì)定理、三角形中位線定理、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．