Question

8．用解析法證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，求出AB的方程、BC的方程，在邊CA上任取一點(diǎn)P（m，0），-a≤m≤a，求出P到AB的距離PE，P到CB的距離為PF的值，再求出A到BC的距離為 h，可得PE+PF=h，命題得證．

解答 證明：設(shè)等腰三角形為ABC，以CA所在的直線為x軸，以CA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)A（a，0）、C（-a，0）、B（0，b），a＞0，b＞0．
則AB的方程為bx+ay-ab=0，BC的方程為bx-ay+ab=0，在邊CA上任取一點(diǎn)P（m，0），-a≤m≤a，
則P到AB的距離PE=$\frac{b（a-m）}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，P到CB的距離為PF=$\frac{b（a+m）}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．
故PE+PF=$\frac{b（a-m）}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$+$\frac{b（a+m）}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．
而A到BC的距離為h=$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．
故PE+PF=h，即等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用坐標(biāo)法證明數(shù)學(xué)命題，用截距式求直線的方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．