Question

13．先將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，然后再將所得圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，最后再將所得圖象向上平移1個單位，得到函數(shù)y=sinx的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于點M（$\frac{π}{4}$，2）對稱，求函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（Ⅱ）由條件利用兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某個點對稱的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，把函數(shù)y=sinx的圖象向下平移1個單位得y=sinx-1的圖象，
然后再將y=sinx-1圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍，得到y(tǒng)=sin2x-1的圖象，
最后將函數(shù)y=sin2x-1的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得y=sin2（x-$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
所以函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式是y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1．
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1圖象任意一點為P（m，n），點P（m，n）關(guān)于點M（$\frac{π}{4}$，2）對稱點為Q（x，y），
由于函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于點M（$\frac{π}{4}$，2）對稱，點Q（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點．
由中點坐標(biāo)公式可得m+x=$\frac{π}{2}$且 n+y=4，即 m=$\frac{π}{2}$-x且 n=4-y．
由點P（m，n）在函數(shù) y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的圖象上，可得n=sin（2m-$\frac{π}{3}$）-1，即有4-y=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）-$\frac{π}{3}$）]-1，
化簡得y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5，所以函數(shù)y=g（x）的解析式為y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5．
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以y=g（x）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5，根據(jù)2x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5∈[4，5+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值分別為4和5+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某個點對稱的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．