Question

13．先將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，然后再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，最后再將所得圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=sinx的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{π}{4}$，2）對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（Ⅱ）由條件利用兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，把函數(shù)y=sinx的圖象向下平移1個(gè)單位得y=sinx-1的圖象，
然后再將y=sinx-1圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，得到y(tǒng)=sin2x-1的圖象，
最后將函數(shù)y=sin2x-1的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得y=sin2（x-$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
所以函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式是y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1．
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1圖象任意一點(diǎn)為P（m，n），點(diǎn)P（m，n）關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{π}{4}$，2）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（x，y），
由于函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{π}{4}$，2）對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)Q（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得m+x=$\frac{π}{2}$且 n+y=4，即 m=$\frac{π}{2}$-x且 n=4-y．
由點(diǎn)P（m，n）在函數(shù) y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的圖象上，可得n=sin（2m-$\frac{π}{3}$）-1，即有4-y=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）-$\frac{π}{3}$）]-1，
化簡(jiǎn)得y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5，所以函數(shù)y=g（x）的解析式為y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5．
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以y=g（x）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5，根據(jù)2x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5∈[4，5+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值分別為4和5+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．