Question

8．α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinβ=sinα•cos（α+β），α+β≠$\frac{π}{2}$，當(dāng)tanβ取最大值時(shí)，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 首先對(duì)三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，整理成tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$，再利用基本不等式求得它的最大值，從而求得此時(shí)tan（α+β）的值．

解答 解：sinβ=sinαcos（α+β），即 sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ，
等式兩邊都除以cosβ得到：tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
整理得：tanβ=$\frac{sinαcosα}{{1+sin}^{2}α}$=$\frac{tanα}{{2tan}^{2}α+1}$，由于α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β≠$\frac{π}{2}$，
所以：tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng) tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取等號(hào)，故tanβ的最大值為 $\frac{\sqrt{2}}{4}$．
此時(shí)，tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．