Question

2．若橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x與橢圓有四個交點，且以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16$\sqrt{3}$，則b=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，代入橢圓方程可得x²+3y²-3b²=0．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出交點坐標的絕對值，代入矩形面積求得答案．

解答 解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，即a²=3b²．
則橢圓方程為x²+3y²-3b²=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-3^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{|x|=\frac{\sqrt{6}}{2}b}\\{|y|=\frac{\sqrt{2}}{2}b}\end{array}\right.$．
∴4|x||y|=4•$\frac{\sqrt{6}}{2}b•\frac{\sqrt{2}}{2}b=16\sqrt{3}$，解得：b=2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，把橢圓方程化為僅含字母系數(shù)b是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．