Question

9．若y=4-$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$最小值為a，最大值為b，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n}-2^{n}}{3{a}^{n}-4^{n}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求函數(shù)的定義，求出函數(shù)的最大值a和最小值b，代入求極限．

解答 解：y=4-$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$，定義域為[-1，3]
當(dāng)x=1時，y取最小值為2，當(dāng)x=3或-1時，y取最大值為4，
故a=2，b=4；
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n}-2^{n}}{3{a}^{n}-4^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{2}^{n}-2{•4}^{n}}{3•{2}^{n}-4•{4}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{（\frac{1}{2}）^{n}-2}{3•（\frac{1}{2}）^{n}-4}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查求函數(shù)的定義域，根據(jù)定義域求函數(shù)的最值及求極限，屬于中檔題．