Question

19．已知直線l：y=x-1與曲線C：y=$\frac{lnx}{x}$相切于點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)A（m，n），代入切線的方程和曲線方程，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，化為lnm+m²=1，由f（m）=lnm+m²的導(dǎo)數(shù)大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，進(jìn)而得到切點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)A（m，n），可得m-1=n，$\frac{lnm}{m}$=n，
y=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
可得$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$=1，
即為lnm+m²=1，
由f（m）=lnm+m²的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{m}$+2m＞0，
則f（m）遞增，且f（1）=1，
即有方程lnm+m²=1的解為m=1．
可得n=0．
即為A（1，0）．
故答案為：（1，0）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性解方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．