Question

10．如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象交于點(diǎn)A，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB，交y軸于點(diǎn)E，已知四邊形ADEC的面積為6．
（1）求k的值；
（2）若AD=3OC，tan∠DAC=2，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)函數(shù)y=ax+b與y=$\frac{k}{x}$圖象的交點(diǎn)A（m，$\frac{k}{m}$），判斷四邊形ADEC是平行四邊形，利用面積公式列出方程求出k的值；
（2）根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，列出方程組求出對應(yīng)的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)y=ax+b與y=$\frac{k}{x}$圖象的交點(diǎn)A（m，$\frac{k}{m}$），其中m＜0；
則|AD|=$\frac{k}{m}$，|OD|=|m|=-m，
又DE∥AB，且AD∥CD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，其面積為
|CE|•|OD|=$\frac{k}{m}$•（-m）=6，
解得k=-6；
（2）∵k=-6，∴y=$\frac{-6}{x}$；
設(shè)函數(shù)y=ax+b與y=$\frac{-6}{x}$（x＜0）圖象的交點(diǎn)A（m，$\frac{-6}{m}$），其中m＜0；
且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（-$\frac{a}$，0）、C（0，b），
則點(diǎn)D（m，0），且AD=CE；
∵AD=3OC，∴$\frac{-6}{m}$=3b①；
又tan∠DAC=2，∴-$\frac{a}$-m=2•$\frac{-6}{m}$②；
又$\frac{-6}{m}$=am+b③，
由①②③組成方程組，解得m=-2$\sqrt{2}$，a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴OE=2OC=$\sqrt{2}$，
則點(diǎn)E（0，-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．