Question

20．已知sinαcosα=$\frac{1}{8}$，且α是第三象限角．
求$\frac{{1-{{cos}^2}α}}{{cos（\frac{3π}{2}-α）+cosα}}$+$\frac{{sin（α-\frac{7π}{2}）+sin（2017π-α）}}{{{{tan}^2}α-1}}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式把要求的式子化為-（sinα+cosα），再根據(jù)sinαcosα=$\frac{1}{8}$，且α是第三象限角求得sinα+cosα的值，可得原式的值．

解答 解：原式=$\frac{{{{sin}^2}α}}{-sinα+cosα}+\frac{cosα+sinα}{{\frac{{{{sin}^2}α-{{cos}^2}α}}{{{{cos}^2}α}}}}$=$\frac{{-{{sin}^2}α}}{sinα-cosα}+\frac{{（cosα+sinα）{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α-{{cos}^2}α}}$=$\frac{{-{{sin}^2}α}}{sinα-cosα}+\frac{{{{cos}^2}α}}{sinα-cosα}$=$\frac{{{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}{sinα-cosα}=-（sinα+cosα）$，
∵$sinαcosα=\frac{1}{8}$，∴${（sinα+cosα）^2}=1+2sinαcosα=\frac{5}{4}$．
∵α是第三象限的角，
∴sinα＜0，cosα＜0，∴$sinα+cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴原式=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．