Question

18．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$ωx）•cos（$\frac{1}{2}$ωx）+2cos²（$\frac{1}{2}$ωx）（ω＞0），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的周期即可求ω的值；
（Ⅱ）通過x的范圍$[0，\frac{π}{2}]$，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值和最小值

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$ωx）•cos（$\frac{1}{2}$ωx）+2cos²（$\frac{1}{2}$ωx），
所以$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx+1=2sin（ωx+\frac{π}{6}）+1$，
又f（x）的最小正周期為$\pi$，所以$\pi$=$\frac{2π}{ω}$，即$\omega$=2．---------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
因為$0≤x≤\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$．
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$ 時，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為f（$\frac{π}{6}$ ）=3；
當$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$ 時，即$x=\frac{π}{2}$ 時，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為f（$\frac{π}{2}$ ）=0．------13分

點評 本題考查我不就是廣東應用，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力．