Question

7．中石化集團(tuán)通過(guò)與安哥拉國(guó)家石油公司合作，獲得了安哥拉深海油田區(qū)塊的開(kāi)采權(quán)，集團(tuán)在某些區(qū)塊隨機(jī)初步勘探了部分口井，取得了地質(zhì)資料．進(jìn)入全面勘探時(shí)期后，集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)來(lái)布置井位進(jìn)行全面勘探．由于勘探一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井．以節(jié)約勘探費(fèi)用．若口井勘探初期數(shù)據(jù)資料見(jiàn)如表：

井號(hào)I	1	2	3	4	5	6
坐標(biāo)（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
鉆探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（Ⅰ）1～6號(hào)舊井位置線性分布，借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a，求a，并估計(jì)y的預(yù)報(bào)值；
（Ⅱ）現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7（1，25），若通過(guò)1、3、5、7號(hào)井計(jì)算出的$\widehatb，\widehata$的值與（I）中b，a的值差不超過(guò)10%，則使用位置最迫近的已有舊井6（1，y），否則在新位置打開(kāi)，請(qǐng)判斷可否使用舊井？（$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n_x^{-2}}}}，\widehata=\overline y-\widehatb\overline x，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}^2=94，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}=945}}$）
（Ⅲ）設(shè)口井出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探并稱為優(yōu)質(zhì)井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用前5組數(shù)據(jù)得到$\overline{x}$，$\overline{y}$，由回歸直線方程必過(guò)平衡點(diǎn)（$\overline{x}$，$\overline{y}$），求a，并估計(jì)y的預(yù)報(bào)值．
（Ⅱ）利用$\frac{6.5-6.83}{6.83}$≈5%，$\frac{17.5-18.93}{18.93}$≈8%，均不超過(guò)10%，由此能求出結(jié)果．
（Ⅲ）由題意勘察優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）利用前5組數(shù)據(jù)得到$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
∵y=6.5x+a，
∴a=50-6.5×5=17.5，
∴回歸直線方程為y=6.5x+17.5，
當(dāng)x=1時(shí)，y=6.5+17.5=24，
∴y的預(yù)報(bào)值為24．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}$=94，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}$=945，
∴b=$\frac{945-4×4×46.25}{94-4×{4}^{2}}$≈6.83，
∴a=46.25-6.83×4=18.93，
即b=6.83，a=18.93，b=6.85，a=17.5，$\frac{6.5-6.83}{6.83}$≈5%，$\frac{17.5-18.93}{18.93}$≈8%，均不超過(guò)10%，
∴使用位置最接近的已有舊井6（1，24）．
（Ⅲ）由題意，1、3、5、6這4口井是優(yōu)質(zhì)井，2，4這兩口井是非優(yōu)質(zhì)井，
∴勘察優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{2}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=2×$\frac{2}{5}$+3×$\frac{8}{15}$+4×$\frac{1}{15}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．