Question

18．如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB=2，BC=$\sqrt{6}$，∠CAB=120°，則∠AOB對(duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)為（　�。�

• A． π
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}π$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由正弦定理求出sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而∠AOB=$\frac{π}{2}$，進(jìn)而OB=$\sqrt{2}$，由此能求出∠AOB對(duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)．

解答 解：由正弦定理知：
$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{BC}{sin∠CAB}$，$\frac{2}{sin∠ACB}$=$\frac{\sqrt{6}}{sin120°}$，
∴sin∠ACB=$\frac{2sin120°}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$∠ACB=\frac{π}{4}$，
∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴OB=$\sqrt{2}$，
∴∠AOB對(duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)：$\frac{1}{4}×2π×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查劣弧長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理的合理運(yùn)用．