Question

15．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，且方程f（x）=$\frac{1}{4}$（m-3x）在[2，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （4ln5-4，4ln4-3）
• B． [4ln3-2，4ln5-4]
• C． [4ln3-2，4ln4-3]
• D． [4ln5-4，4ln4-3）

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，則在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于直線x+2y-1=0的斜率，從而可得a=1．方程f（x）=$\frac{1}{4}$（m-3x）整理為4ln（1+x）-x=m．再利用圖象的交點(diǎn)來(lái)解決．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，則f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為f′（1）=$\frac{1}{2}$-a，
由于切線與直線x+2y-1=0平行，
則f′（1）=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=1．
有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理為4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′（x）=$\frac{4}{x+1}$-1，
∴當(dāng)3＜x≤4時(shí)g'（x）＜0，當(dāng)2≤x＜3時(shí)g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函數(shù)，在[3，4]上是減函數(shù)，
∴在x=3時(shí)g（x）有最大值4ln4-3．
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）=4ln$\frac{3}{5}$+2=2（2ln$\frac{3}{5}$+1）．
由9e≈24.46＜25，于是2ln$\frac{9e}{25}$＜0．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范圍為[4ln5-4，4ln4-3）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，用導(dǎo)數(shù)法解決方程根的問(wèn)題，考查分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)的能力，屬于中檔題．