Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，令f′（x）=0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求出函數(shù)在[-π，π]上的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=-{e^{-x}}sinx+{e^{-x}}cosx=\frac{{\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）}}{e^x}$．
令f′（x）=0，解得：$x=kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$．
因為當$x∈（2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}），k∈Z$時，f′（x）＞0；
當$x∈（2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}），k∈Z$時，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}），k∈Z$，
單調(diào)遞減區(qū)間是$（2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}），k∈Z$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在$[-π，-\frac{3π}{4}）$上單調(diào)遞減，在$（-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{π}{4}，π]$上單調(diào)遞減，
而$f（-π）=0，\;\;f（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{-\frac{π}{4}}}＞0$，$f（π）=0，\;\;f（-\frac{3π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{\frac{3π}{4}}}＜0$
所以f（x）在[-π，π]上的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{-\frac{π}{4}}}$，最小值為$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{\frac{3π}{4}}}$．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考察導數(shù)的應用，本題是一道中檔題．