Question

17．已知g（x）=e^x（cosx+a）（a∈R）是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0立，然后求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因?yàn)閒（x）=e^x（cosx+a），所以f′（x）=e^x（cosx+a-sinx）．
要使函數(shù)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0成立．
即-sinx+a+cosx≥0恒成立．
所以a≥sinx-cosx，
因?yàn)閟inx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）
所以-$\sqrt{2}$≤sinx-cosx≤$\sqrt{2}$，
所以a≥$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，f'（x）≥0恒成立．