Question

6．正三棱錐P-ABC中，（△ABC是正三角形，點P在平面ABC的射影是△ABC的中心）側棱PA與底面ABC成60°角，若AB=2$\sqrt{3}$，則P到平面ABC的距離是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 三棱錐P-ABC的側棱與底面ABC所成的角都是60°，利用底面正三角形的邊長，轉化求出棱錐的高即可．

解答 解：∵三棱錐O-ABC的側棱與底面ABC所成的角都是60°，
∴P-ABC是正三棱錐．
過P作PG⊥平面ABC交于點G，延長AG交BC于D．
∵P-ABC是正三棱錐，
∴點G是△ABC的中心，
∴AD是等邊△ABC的一條高，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$=3，AG=$\frac{2}{3}×3$=2，
∵PG⊥平面ABC，
側棱PA與底面ABC成60°角，∠PAG=60°．
∴PG=AGtan60°=2$\sqrt{3}$．
則P到平面ABC的距離是：2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三棱錐的高的求法，解題時要認真審題，注意合理地化立體問題為平面問題．