Question

19．（理科）已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，（a∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（2，f（2））處的切線l與直線4x-y+4=0平行，求a的值．
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過f′（2）=4，從而求出a的值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax-（2a+1）+$\frac{1}{x}$，
∴f′（2）=4a-（2a+1）+$\frac{1}{2}$=4，解得：a=$\frac{9}{4}$；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-（2a+1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，（x＞0），
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2a}$，1）單調(diào)遞減；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2a}$或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{2a}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞）單調(diào)遞增，在（1，$\frac{1}{2a}$）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查曲線的切線問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．