Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=3cos²（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{5}$）-2，若對(duì)任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則|x₁-x₂|的最小值為4．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)函數(shù)，再由已知可知f（x₁）是f（x）的最小值，f（x₂）是f（x）的最大值，它們分別在最低和最高點(diǎn)取得，它們的橫坐標(biāo)最少相差半個(gè)周期，由三角函數(shù)式知周期的值，結(jié)果是周期的值的一半．

解答 解：f（x）=3cos²（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{5}$）-2=$\frac{3}{2}$cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{2π}{5}$）-$\frac{1}{2}$，
∵對(duì)任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）是函數(shù)f（x）的最小值，f（x₂）是函數(shù)f（x）的最大值．
∴|x₁-x₂|的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期，
∵T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
∴|x₁-x₂|的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和最值，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，屬中檔題．