Question

5．已知過點(diǎn)M（2，1），且分別與x軸，y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，是否存在使△ABO的面積最小的直線l？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)出直線l的方程，由題意和基本不等式求出△ABO面積的最小值以及對(duì)應(yīng)的直線方程．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a、b均為正數(shù)，
∴直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1；
又直線過點(diǎn)M（2，1），∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，
∴1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab}}$，
∴$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{2}$，
兩邊平方得ab≥8，
∴△ABO的面積為S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{a}$=$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$，
即a=4且b=2時(shí)取等號(hào)；
∴△ABO面積的最小值為4，
此時(shí)對(duì)應(yīng)直線l的方程為$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，也考查了直線方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．