Question

8．過(guò)點(diǎn)M（2，4）作互相垂直的兩條直線(xiàn)l₁，l₂，直線(xiàn)l₁與x軸正半軸交于點(diǎn)A，直線(xiàn)l₂與y軸正半軸交于點(diǎn)B．
（1）求當(dāng)△A0B的面積達(dá)到最大值時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離；
（2）若直線(xiàn)AB將四邊形0AMB分成兩部分，且S_△AOB=$\frac{1}{3}$S_{四邊形OAMB}，求直線(xiàn)l₁的斜率．．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線(xiàn)l₁斜率不存在時(shí)，△AOB的面積等于4，當(dāng)直線(xiàn)l₁斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為y-4=k（x-2），故l₂方程為y-4=-$\frac{1}{k}$（x-2），求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，
得到S（k）=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{k}$）（4+$\frac{2}{k}$）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值，得到直線(xiàn)AB方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出答案；
（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率l₁不存在時(shí)，四邊形OAMB面積等于8，△AOB的面積等于4，不符合題意；
當(dāng)直線(xiàn)斜率l₁存在時(shí)，由（1）知，S（k）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4=$\frac{8}{3}$，解得即可．

解答 解：（1）當(dāng)直線(xiàn)l₁斜率不存在時(shí)，△AOB的面積等于4；
當(dāng)直線(xiàn)l₁斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為y-4=k（x-2），令y=0，得A（2-$\frac{4}{k}$，0）．
因與l₂互相垂直，故l₂方程為y-4=-$\frac{1}{k}$（x-2），令x=0，得B（0，4+$\frac{2}{k}$）．
此時(shí)△AOB的面積S（k）=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{k}$）（4+$\frac{2}{k}$）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4，
于是當(dāng)k=-$\frac{4}{3}$時(shí)，S（k）取最大值$\frac{25}{4}$．
由于$\frac{25}{4}$＞4，所以當(dāng)△AOB的面積達(dá)到最大值時(shí)，A（5，0），B（0，$\frac{5}{2}$），
∴直線(xiàn)AB的方程為$\frac{x}{5}$+$\frac{y}{\frac{5}{2}}$=1，即x+2y-5=0，
∴原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離d=$\frac{5}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率l₁不存在時(shí)，四邊形OAMB面積等于8，
△AOB的面積等于4，不符合題意；
當(dāng)直線(xiàn)斜率l₁存在時(shí)，由（1）知，S（k）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4，
∵S_△AOB=$\frac{1}{3}$S_{四邊形OAMB}，
∴-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4=$\frac{1}{3}$×8，
即2k²-9k-6=0，
解得k=$\frac{9±\sqrt{129}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的關(guān)系，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)要求學(xué)生掌握?qǐng)A的一些基本性質(zhì)，是一道綜合題．學(xué)生做題時(shí)不要忽視斜率不存在時(shí)的情況