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9.已知點(diǎn)A(0,5),圓C:x2+y2+4x-12y+24=0
(1)若直線l過A(0,5)且被圓C截得的弦長為43,求直線l的方程;
(2)點(diǎn)M(-1,0),N(0,1),點(diǎn)Q是圓C上的任一點(diǎn),求△QMN面積的最小值.

分析 (1)求出圓心和半徑.設(shè)過該點(diǎn)的直線方程,求圓心到直線的距離與半徑和半弦長構(gòu)成勾股定理,解出斜率k,即得到直線方程,注意討論斜率不存在的情況;
(2)求出直線方程,圓心坐標(biāo)與半徑,從而可得圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值,進(jìn)而可求△ABC的面積最小值.

解答 解:(1)圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,其圓心坐標(biāo)為(-2,6),半徑為r=4,點(diǎn)P(0,5),
當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線方程為:x=0,
當(dāng)x=0時(shí),y2-12y+24=0,解得y=6±23,
可得弦長為6+23-(6-23)=43成立;
當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)過P的直線方程為:y=kx+5,化為一般方程:kx-y+5=0,
圓心到直線的距離d=|2k6+5|1+k2=|2k+1|1+k2
又(232+d2=r2=16,
解得:k=34
所以3x-4y+20=0,
綜上可得直線l:x=0或3x-4y+20=0;
(2)直線MN的方程為-x+y=1,即x-y+1=0.
圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,其圓心坐標(biāo)為(-2,6),半徑為r=4,
可得圓心(-2,6)到直線MN的距離為d=|26+1|2=722
圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為722-4.
由|MN|=2,可得△ABC的面積最小值是12×2×(722-4)=72-22

點(diǎn)評(píng) 本題考查求直線的方程,注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式,考查三角形的面積的最小值,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,求得圓上點(diǎn)到直線的最小值,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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