Question

20．已知函數(shù)f（x）=x+b-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，若方程|f（x）|=1有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-1，2$\sqrt{2}$-3）．

Answer 1

分析 若方程|f（x）|=1有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，則平行線y=x+b-1，y=x+b+1與y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：∵|f（x）|=1，
∴f（x）=x+b-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$=1或f（x）=x+b-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$=-1，
即x+b-1=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$或x+b+1=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，
∵方程|f（x）|=1有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，
∴兩平行線y=x+b-1，y=x+b+1與y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$有3個(gè)交點(diǎn)，
做出y=x+b-1，y=x+b+1，y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)y=x+m與半圓y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$相切，則$\frac{2+m}{\sqrt{2}}=2$，
∴m=2$\sqrt{2}$-2，
∴0≤b+1＜2$\sqrt{2}$-2，
∴-1≤b＜2$\sqrt{2}$-3．
故答案為[-1，2$\sqrt{2}$-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．