Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$，對于方程f（2x²+x）=a．
（1）若a=3，方程實根的個數(shù)為6．
（2）若a∈（2，+∞），方程實根個數(shù)的最小值是4．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$的圖象，令t=2x²+x，分類討論不同情況下，方程實根的個數(shù)，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$的圖象如圖所示：
（1）若a=3，令t=2x²+x，
則有三個滿足條件的t，且均非負數(shù)，
故每個t值方程t=2x²+x都有兩個根，
故方程實根的個數(shù)為6個，
（2）若a∈（2，+∞），
則當a＞3時，則有兩個滿足條件的t，且均正數(shù)，
故每個t值方程t=2x²+x都有兩個根，
故方程實根的個數(shù)為4個，
當3-$\frac{1}{512}$＜a＜3時，則有三個滿足條件的t，且故每個t值方程t=2x²+x都有兩個根，
故方程實根的個數(shù)為6個，
當a=3-$\frac{1}{512}$時，則有三個滿足條件的t，且兩個正數(shù)t值方程t=2x²+x都有兩個根，
t=3-$\frac{1}{512}$時，方程t=2x²+x有一個根，
故方程實根的個數(shù)為5個，
當2＜a＜3-$\frac{1}{512}$時，則有三個滿足條件的t，且兩個正數(shù)t值方程t=2x²+x都有兩個根，
t＜3-$\frac{1}{512}$時，方程t=2x²+x無根，
故方程實根的個數(shù)為4個，
綜上所述，方程的根最小有4個，
故答案為：6，4

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，分類討論思想，數(shù)形結合思想，轉化思想，難度較大．