Question

13．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+32n-n²，
（1）求a_n；
（2）研究數(shù)列通項(xiàng)正負(fù)符號(hào)；
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)S_n=1+32n-n²與S_n-1=1+32（n-1）-（n-1）²作差，進(jìn)而整理可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）令a_n＞0，進(jìn)而解不等式可得結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）可得數(shù)列{|a_n|}的通項(xiàng)公式，分1≤n≤16、n≥17兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵S_n=1+32n-n²，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=1+32（n-1）-（n-1）²，
兩式相減得：a_n=-2n+33，
又∵a₁=1+32-1=32不滿足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{32，}&{n=1}\\{-2n+33，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，令-2n+33＞0可知n＜16.5，
又∵數(shù)列{a_n}遞減，
∴當(dāng)1≤n≤16時(shí)a_n為正，當(dāng)n≥17時(shí)a_n為負(fù)；
（3）由（2）可知，|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，}&{1≤n≤16}\\{-{a}_{n}，}&{n≥17}\end{array}\right.$，
記數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，則
當(dāng)1≤n≤16時(shí)，T_n=S_n=1+32n-n²；
當(dāng)n≥17時(shí)，T_n=2S₁₆-S_n=2（1+32×16-16²）-（1+32n-n²）=n²-32n+513；
綜上所述，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+32n-{n}^{2}，}&{1≤n≤16}\\{{n}^{2}-32n+513，}&{n≥17}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．