Question

5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a${\;}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=（-1）ⁿa_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將n換為n-1，兩式相減，可得a_n+1-a_n=1，即公差d=1，再由等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得a₂=3，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得通項(xiàng)；再由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得所求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出c_n=（-1）ⁿa_nb_n=（n+1）（-2）ⁿ，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)利用錯(cuò)位相減法，可求前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（I）∵a_n+1²=2S_n+n+4，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=2S_n-1+n+3，兩式相減可得：a_n+1²-a_n²=2a_n+1，
∴a_n+1²=（a_n+1）²，
∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴a₂-a₁=1．又a₂²=2a₁+5，聯(lián)立解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴a₂-1=2，a₃=4，a₇=8，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q=$\frac{4}{2}$=2，首項(xiàng)為2．
∴b_n=2ⁿ，
（Ⅱ）c_n=（-1）ⁿa_nb_n=（-1）ⁿ（n+1）2ⁿ=（n+1）（-2）ⁿ，
∴T_n=2×（-2）+3×（-2）²+4×（-2）³+…+（n+1）（-2）ⁿ，①
-2T_n=2×（-2）²+3×（-2）³+4×（-2）⁴+…+n（-2）ⁿ+（n+1）（-2）ⁿ⁺¹，②
相減可得3T_n=（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ-（n+1）（-2）ⁿ⁺¹=$\frac{（-2）[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（n+1）（-2）ⁿ⁺¹=-$\frac{3n+2}{3}$•（-2）ⁿ⁺¹-$\frac{2}{3}$
∴T_n=-$\frac{3n+2}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹-$\frac{2}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列及等比 數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．