Question

已知函數(shù)f（x）=x^k+b（常數(shù)k，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2）、（16，4）兩點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）問(wèn)：是否存在邊長(zhǎng)為4正三角形△PQ₁Q₂，使點(diǎn)P在函數(shù)f（x）圖象上，Q₁、Q₂從左至右是x正半軸上的兩點(diǎn)？若存在，求直線PQ₂的方程，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解方程組

4k+b=2 16k+b=4

，解出即可，
（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（12，2

3

），點(diǎn)Q₁的橫坐標(biāo)為x_Q=10，即Q（10，0），求出K_PQ=

2 3

12-10

=

3

，得出直線PQ₁的傾斜角為

π

3

，從而解決問(wèn)題，
（3）由題意知：g（x）為f（x）的反函數(shù)，求出a＜

2x2-4x+2

2x

當(dāng)x≥2恒成立，又

2x2-4x+2

2x

=x+

1

x

-2在x∈[2，+∞）單調(diào)遞增，得出(

2x2-4x+2

2x

)min，解出即可．

解答： 解：（1）把

x=4 y=2

和

x=16 y=4

分別代入f（x）=x^k+b可得：

4k+b=2 16k+b=4

，
化簡(jiǎn)此方程組可得：16^k-4^k-2=0即（4^k-2）（4^k+1）=0
可得4^k=2，
∴k=

1

2

，
代入原方程組可得：b=0
∴f（x）=

x

，
（2）由△PQ₁Q₂邊長(zhǎng)為4可知：此三角形的高即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（12，2

3

），
∴點(diǎn)Q₁的橫坐標(biāo)為x_Q=10，即Q（10，0），
∵K_PQ=

2 3

12-10

=

3

，
∴直線PQ₁的傾斜角為

π

3

，
∴這樣的正三角形存在，且點(diǎn)Q₂（14，0），
直線PQ₂方程為y=-

3

（x-14）即

3

x+y-14

3

=0，
（3）由題意知：g（x）為f（x）的反函數(shù)，
∴g（x）=x²（x≥0），
∵g（x）+g（x-2）＞2ax+2即x²+（x-2）²＞2ax+2當(dāng)x≥2恒成立，
∴2ax＜2x²-4x+2即a＜

2x2-4x+2

2x

當(dāng)x≥2恒成立，
∴只需求函數(shù)y=

2x2-4x+2

2x

在x∈[2，+∞）上的最小值即可，
又∵

2x2-4x+2

2x

=x+

1

x

-2在x∈[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴(

2x2-4x+2

2x

)min=2+

1

2

-2=

1

2

，
∴a＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，求直線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．