Question

14．設(shè)f（x）=x²cosθ-x（1-x）+（1-x）²sinθ在x∈[0，1]時(shí)，f（x）＞0恒成立．
（1）求證：sinθ＞0，cosθ＞0；          
（2）求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=sinθ＞0，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=cosθ＞0；
（2）求得函數(shù)f（x）=（1+cosθ+sinθ）x²-（1+2sinθ）x+sinθ，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸x₀=$\frac{1+2sinθ}{（1+2sinθ）+（1+2cosθ）}$，由0＜x₀＜1，可知f（x）在[0，1]上恒成立，
△=（1+2sinθ）²-4sinθ（1+cosθ+sinθ）＜0，解得：sin2θ＞$\frac{1}{2}$，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，即可求得x的取值范圍，由sinθ＞0，cosθ＞0，求得2kπ+$\frac{π}{12}$＜θ＜2kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．

解答 解：（1）證明：由題意可知：f（0）=sinθ＞0，f（1）=cosθ＞0；
（2）f（x）=（1+cosθ+sinθ）x²-（1+2sinθ）x+sinθ，
對(duì)稱軸x₀=$\frac{1+2sinθ}{2（1+cosθ+sinθ）}$=$\frac{1+2sinθ}{（1+2sinθ）+（1+2cosθ）}$，
由（1）可知：0＜x₀＜1，
于是f（x）在[0，1]上恒成立，
當(dāng)且僅△=（1+2sinθ）²-4sinθ（1+cosθ+sinθ）＜0，
即1-2sin2θ＜0，
解得：kπ+$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z
結(jié)合sinθ＞0，cosθ＞0，
可得2kπ+$\frac{π}{12}$＜θ＜2kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z
即θ的取值范圍是（2kπ+$\frac{π}{12}$，2kπ+$\frac{5π}{12}$），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查二次函數(shù)性質(zhì)，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．