Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-2elnx．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=2x-\frac{2e}{x}$=$\frac{{2（{x-\sqrt{e}}）（{x+\sqrt{e}}）}}{x}$，
由0＜x＜$\sqrt{e}$可得f′（x）＜0；由x＞$\sqrt{e}$可得f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（{0，\sqrt{e}}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（{\sqrt{e}，+∞}）$．
（2）∵f（1）=1，f′（1）=2-2e．
∴切線為y-1=（2-2e）（x-1）
即切線方程為（2e-2）x+y+1-2e=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程思想的運(yùn)用，以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．